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Kylin

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一、线性微分方程解的结构

1、二阶线性微分方程的一般形式： d2ydx2+P(x)dydx+Q(x)y=f(x)\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+P(x)\frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)

（特点是左端每一项关于未知函数y及y’、y’’都是一次的，若f(x)=0，则称方程是齐次的，否则，当f(x)≠0时，方程叫非齐次的。）

2、定理1：如果函数y1(x)和y2(x)是方程 y″+P(x)y′+Q(x)y=0y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 的两个解，那么

$y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$ 也是这个方程的解

3、定理2：如果函数y1(x)和y2(x)是方程 y″+P(x)y′+Q(x)y=0y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 的两个线性无关的特解，那么 y=C1y1(x)+C2y2(x)y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x) 是这个方程的通解。

（线性相关的定义： 设y1(x)、y2(x)…yn(x)为定义在趋于I上的n个函数，如果存在n个不全为0的常数k1，k2…kn，使得x∈I时有恒等式 k1y1+k2y2+…knyn≡0k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}+…k_{n}y_{n}≡0 成立，则称这n个函数在区间I上线性相关，否则称线性无关。）

4、定理3：设 y∗(x)y^{*}(x)是二阶非齐次线性方程 y″+P(x)y′+Q(x)y=f(x)y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x) 的一个特解，Y(x)是与这个方程对应的齐次方程 y″+P(x)y′+Q(x)y=0y’’+P(x)y’+Q(x)y=0 的通解，则

y=Y(x)+y∗(x)y=Y(x)+y^{*}(x) 是二阶非齐次线性微分方程的通解。

5、定理4：设非齐次线性方程的右端f(x)是几个函数之和，如 $y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)y’’+P(x)y’+Q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x) $，而 y1∗(x)y_{1}^{}(x) 和 y2∗(x)y_{2}^{}(x) 分别是方程 ​​**​​ 和方程 ​​**​的特解，那么 y1∗(x)+y2∗(x)y_{1}^{}(x)+y_{2}^{}(x) 是方程 $y″+P(x)y′+Q(x)y=f1(x)+f2(x)y’’+P(x)y’+Q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x)$ 的特解。

6、定理5：设齐次微分方程y″+P(x)y′+Q(x)y=0y’’+P(x)y’+Q(x)y=0有一个非零解y1(x)，则必可借助y1(x)求出微分方程的另一个与y1(x)线性无关的解y2(x)，且有

y2(x)=y1(x)·∫1y12(x)e−∫P(x)dxdxy_{2}(x)=y_{1}(x)·\int \frac{1}{y_{1}^{2}(x)}e^{-\int P(x)dx}dx

7、二阶常系数线性齐次微分方程：形式：$ y″+py′+qy=0y’’+py’+qy=0$ 的步骤如下：

（1）求出特征方程：$ r2+pr+q=0r^{2}+pr+q=0$

（2）求出特征根： $r1,2=−p2±p24−qr_{1,2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{\frac{p^{2}}{4}-q}$

（3）根据特征根的三种不同情形分别写出微分方程的通解：

推广到高阶微分方程：

8、二阶常系数非齐次线性微分方程：

（1）一般形式： $y’’+py’+qy=f(x)$

（2）通解和之前的求法一样，现在求特解

① $f(x)=P_{m}(x)e^{λx}$

则其特解为：$ y$​^^​$kQm(x)eλx$

其中，$ Q_{m}(x) 是与 P_{m}(x)$ 同次（m次）的多项式（各系数待定，系数只要把特解带进去方程比较相同次数的系数就可以得出），而k按λ不是特征方程$r^{2}+pr+q=0$的根、是特征方程的单根或者是特征方程的重根依次取0,1,2。

（此方法可以推广到n阶情况，但是注意k是按照特征方程的根λ的重复次数（即若λ不是特征方程的根，k取0，是特征方程的s重根，则取s））

②$ f(x)=e^{λx}[P_{l}(x)coswx+P_{n}sinwx]$

则其特解为： $y$​^^​$x$​^^​$ e$​^^​$[R_{m}$​^^​$(x)coswx+R_{m}$​^^​$(x)sinwx]$

其中 $R_{m}$​^^​${2}(x) $是m次多项式，$m=max{l，n}$而k按 $λ+iw（或λ-iw）$ 不是特征方程的根或是特征方程的单根分别取0或1。

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